n-body problem

Bu yazımızda uyduların yörüngelerini hesaplamada önemli bir sorun teşkil eden n-cisim probleminden bahsedeceğim.
“Newton’un Hareket Yasaları” başlıklı yazımızı okuyanlar, Newton’un üçüncü yasasını yani kısaca etki-tepki yasasını hatırlayacaklardır. Newton’a göre evrende her aksiyonun (etkinin) bir reaksiyonu (tepkisi) vardır.

Yine “Newton’un Evrensel Kütle Çekim Yasası” başlıklı yazıda açıkladığımız üzere bizi dünyanın üzerinde ve uyduları yörüngede tutan kuvvet de dünyanın yer çekimi kuvveti. Yani bizden ve uydulardan dünyaya doğru olan kuvvet.

Fakat Newton’un üçüncü yasasına göre bizim ve uyduların da dünyaya benzer bir kuvvet uygulamamız gerekmiyor mu? Evet gerekiyor ve uyguluyoruz da. Yani dünya çevresindeki bir kütleyi kendine çekerken kendisi de aslında o kütleye doğru çekiliyor.

Classical central-force problem (tek cisim problemi)

Fakat dünyanın kütlesi bize veya çevresindeki uydulara göre çok çok fazla olduğu için uyduların yörünge hesaplamalarında dünya sabit bir kütle kabul ediliyor aşağıdaki gibi. Buna da tek cisim problemi “Classical central-force problem” deniyor.

İki kütle arasındaki çekimde kütlelerden birinin sabit olması da Newton’un ve Kepler’in kanunlarını ve formüllerini uygulamayı çok daha kolay ve basit hale getiriyor.

Barycenter

Peki kütlelerden bir tanesi diğerine göre çok daha büyük olunca nasıl büyük olanı sabit kabul edebiliyoruz. Bunu anlamak için öncelikle astronomide “barycenter” diye geçen kavramı bilmemiz gerekiyor. “Barycenter” yörüngedeki iki veya daha fazla kütlenin ortak ağırlık merkezini (center of mass) gösteren noktaya deniyor. Yörüngedeki kütleler de aslında bu nokta etrafında yörüngede kalıyorlar.

İki kütle arasında büyük bir fark olmadığında “barycenter” yani kütle merkezi iki cisim arasında bir yerlerde ama herhangi bir kütlenin (hacminin) dışında yer alıyor.

Örneği aşağıdaki animasyonda olduğu gibi iki cismin kütlesi aynı olduğunda sistemin ağırlık merkezi (kırmızı + ile gösterilen) tam ortada yer alıyor, iki cisim de bu ağırlık merkezi etrafındaki ortak bir yörüngede dolanıyor.

Fakat cisimlerden bir tanesi diğerinden daha büyük olduğu durumda sistemin ağırlık merkezi kütlesi büyük olana daha yakın oluyor ama iki cisim de birbiriyle kesişmeyen birer yörüngede dönüyorlar.

Güneş sistemimizde buna benzer bir yörünge de Pluto ile uydusu Charon ile arasında bulunuyor aşağıdaki gibi.

Bazen de ikili yıldız sistemlerindeki gibi hayli eliptik yörüngede olan cisimler de olabiliyor aşağıdaki gibi.

Bir kütle diğerinden kat kat büyük ise o zaman aşağıdaki gibi sistemin ağırlık merkezi kütlesi büyük olanın içinde yer alıyor. Aynı güneş ile dünyamız ya da dünyamız ile ayımız arasındaki yörüngede olduğu gibi.

İki kütle arasındaki çekimde, gerçekte herhangi bir kütle hiç bir zaman sabit olmuyor. Fakat sistemin ağırlık merkezi kütlesi büyük olanın içinde kalınca sabit kabul edilebiliyor ve bu durumda “Classical central-force problem” formülleri uygulanabiliyor.

two-body problem (iki cisim problemi)

Kütleler Pluto uydusu Charon gibi biri birine yakın olduğu durumda bir kütleyi sabit kabul edemediğimizden kütleler arası kuvvetleri ve yörüngelerini hesaplamak kolay olmuyor.

 

Fakat yine de imkansız değil. Newton’un Hareket Kanunları iki kütleyi tek bir kütleymiş gibi hesaplamamıza imkan veriyor. Burada detayına girmeyeceğim  ama “two-body problem” makalesinden ilgili hesaplamaları görebilirsiniz.

n-body problem (n cisim problemi)

Esas sorun ise bir yörüngede biri birini etkileyen kütle sayısı 3 veya daha fazla olduğunda başlıyor. Çünkü böyle bir problemin maalesef özel durumlar dışında çözümü bulunmuyor.

Yani 3 veya daha fazla sayıdaki cismin şu anki başlangıç noktalarını, kütlelerini ve momentumlarını bilsek dahi bunların 1 hafta sonraki yörüngelerini hesaplamak çok zor bir iş çünkü cisimler arası çekim kuvvetleri kaotik bir yörüngeye sebep oluyor ve bu yörüngeyi matematiksel olarak  hesaplamak pratikte imkansız hale geliyor.

Bundan dolayı ancak sayısal analiz ile yörünge hesapları yaklaşık yapılıyor ve çok uzun ömürlü olmuyor. Yani düzenli olarak güncellemek gerekiyor tahmini yörüngeyi en güncel verileri kullanarak.

Peki bu dünyanın çevresindeki uyduların yörüngesi için neden önemli. Çünkü dünyaya yakın kütlesi büyük iki önemli cisim daha bulunuyor. Bunlardan bir tanesi ay, diğeri de güneş. Ayın kütlesi çok büyük değil ama dünyaya yakın, güneş uzak ama kütlesi çok büyük.

Dolayısıyla dünyanın yörüngesindeki bir uydunun gelecekteki tam pozisyonunu bulmak imkansız hale geliyor etrafında çok sayıda yörüngesinde sapmaya neden olan büyük kuvvetler varken. Bir de güneş sistemimizde dünyaya yakın Venüs ve Mars’ı, uzak olmasına rağmen dev kütlesi ile ciddi bir çekim kuvveti olan Jupiter’i düşündüğümüzde n-cisim problemi daha da kaotik hale geliyor.

Yakında dünyanın çevresindeki uyduların yörüngelerini etkileyen yani sapmaya neden olan diğer faktörlerle ilgili bir yazı paylaşacağım. Fakat öncesinde n-cisim problemi konusunu paylaşayım istedim 🙂

Kaynaklar:

https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_central-force_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_two-body_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Three-body_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/N-body_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Barycenter

What is the n-Body Problem?